摘要為了探究互聯電力網絡中的Braess悖論現象，本文采用二階類Kuramoto相振子模型對電網進行動力學建模，將兩個子網通過大度節點相連構建互聯電網，當兩個子網間有功率傳輸時，分別在兩個子網內部新增傳輸線路探究互聯電網發生Braess悖論現象的概率并分析其原因。研究發現，當互聯電網中兩個子網間的功率傳輸達到某一臨界值時，受電子網的同步能力遠優于供電子網的同步能力，供電子網新增傳輸線路引起互聯電網發生Braess悖論的概率遠高于受電子網新增傳輸線路引發的Braess悖論概率。文中通過定義子網序參數對上述現象產生的原因進行了深入分析。本文的研究對互聯電網的拓撲優化具有重要指導意義。

　　關鍵詞復雜網絡;互聯電網;同步;Braess悖論

　　引言Braess悖論[16]的概念是德國數學家DietrichBraess[1]于1968年在一篇關于交通網絡規劃問題的文獻中首次提出。一般而言，在相對擁擠的城市道路中，通過擴展路網、新增道路能夠疏解交通，提高通行效率。然而，Braess的研究指出，在交通網絡中增加路徑可能會出現與預期效果相反的現象，新網絡的通行效率不升反降，到目的地所需要的通行時間更長。近年來，許多專家學者研究發現電網中同樣存在與交通網相類似的Braess悖論現象，即新增一條傳輸線路，不僅沒有提高電力網絡的同步性能，反而使得電網同步性能惡化。

　　中國電業期刊發表簡述電力資源工程技術

　　隨著我國經濟快速發展，對電力資源的需求愈來愈大，電力系統的結構也日趨復雜，伴隨而來的能源分布與區域經濟不匹配的矛盾也日趨顯現。國家在本世紀初啟動了“西電東送”工程[79]，有效緩解了西部地區電力資源富裕而需求相對較少，東部沿海地區電力資源短缺而需求相對較大這一矛盾。隨著電網互聯供能的優勢愈發明顯，它已成為改善電力結構不合理，優化資源配置的重要手段。在此背景下，未來對電網進行擴建、優化以及改造時必然會面臨電網的Braess悖論現象的發生，因此，對互聯電網中的Braess悖論現象進行深入研究顯得至關重要。

　　Witthaut和Timme[1011]研究發現，Braess悖論現象是在不同類型供電網絡中出現的普遍特征，在已經存在并穩定運行的電網中增加新的連接線并不總是促進同步，增加某些連接線實際上降低了電網的同步穩定性，并帶來巨大的成本。Coletta和Jacquod等[12]研究了在耦合振子網絡中加入新的耦合對同步穩定性的影響，研究表明增加新的耦合可以提高或降低網絡穩定性，Braess悖論可能發生在任何復雜的耦合系統中，其同步狀態可能會被額外的耦合削弱甚至破壞。

　　Baillieul和Zhang等[13]基于基爾霍夫定律發現配電網中也會出現類似于交通網的Braess悖論現象。Tchawou等[14]在交流電網模型中研究二次控制的動態后果，證明了無論拓撲結構如何，運用二次控制都可以提高電網的穩定性，防止網絡發生Braess悖論現象。Wang等[15]研究了拓撲結構對Braess悖論的影響，并指出可能導致發生Braess悖論現象的傳輸線路存在于特殊的子結構中，對電網拓撲結構的設計和擴展時避開這些子結構就可以有效避免系統中的Braess悖論現象的發生。

　　Fazlyab等[16]提出了一種優化框架用來設計不同uramoto振蕩器組成的網絡的固有頻率和耦合權重，將可以同時捕獲網絡穩態性能和穩定性的相位內聚性作為設計約束，并證明了該框架能夠識別出引起Braess悖論的鏈路。以上研究大多是對單一電網的研究，沒有考慮互聯電網的特性，對具有電力傳輸的互聯電網中Braess悖論現象的研究還很少見。本文基于復雜網絡理論[1721]，采用二階類Kuramoto相振子模型[22]，通過將兩個子網用傳輸線路連接構建互聯電網。當兩個子網間有功率傳輸時，分別在兩個子網內新增傳輸線路探究互聯電網中的供電和受電子網發生的Braess悖論現象并分析其原因。

　　發生Braess悖論現象的判別方法一般而言，在電網中新增一條傳輸線路可以促進網絡的同步，但是電網中存在與人們直覺相反的Braess悖論現象，即新增一條傳輸線路會使得電網的同步性能惡化。為了進一步探究電網中Braess悖論現象的規律，準確判別電網在新增某條傳輸線路時是否發生Braess悖論現象顯得尤為重要。

　　由2.2、2.3小節可知，當電網的振子間耦合強度取到臨界同步耦合強度時，電網在經過一定的演化時間達到穩態時處于同步狀態，系統中所有振子以相同的頻率穩定運行，此時系統的穩態頻偏等于。此時在系統中新增某條傳輸線路，若網絡同步能力得到改善，系統穩態頻偏必為零。

　　若新增傳輸線路引起同步性能惡化，即系統發生Braess悖論，系統穩態頻偏必不為零。因此，將網絡的耦合強度設置成臨界同步耦合強度，在系統中新增某條傳輸線路后檢測系統穩態頻偏是否為，可以判斷電網中是否發生Braess悖論現象。當互聯電網由兩個不同子網構建時，在子網內部新增傳輸線路時會發生類似現象，即當傳輸功率達到一定值時，供電子網新增傳輸線路互聯電網發生Braess悖論現象的概率高于受電子網新增傳輸線路互聯電網發生Braess悖論現象的概率，受電子網新增傳輸線路發生Braess悖論的概率相較于原單個網絡發生Braess悖論的概率有較大降低。由于=時，互聯電網中兩個子網間沒有功率傳輸，沒有體現互聯電網的功能和特性，故本文未做討論，在作圖時采用綠色虛線連接。

　　我們又在多個不同結構的IEEE測試系統中進行了實驗，均發現無論互聯電網是由兩個相同的子網構成，還是由不同的子網構成，在子網內部新增傳輸線路時，當網間傳輸功率大于某一門限值時，與原子網發生Braess悖論現象的概率相比，供電子網新增傳輸線路發生Braess悖論現象的概率非常高，而受電子網新增傳輸線路發生Braess悖論現象的概率接近零。我們接著又將子網通過兩條傳輸線路連接進行了類似的實驗，仍然發現當子網間的傳輸功率大于某一臨界值時，與原單個網絡發生Braess悖論現象的概率相比，供電子網新增傳輸線路發生Braess悖論現象的概率非常高，而受電子網新增傳輸線路發生Braess悖論現象的概率接近零，只是此時傳輸功率的臨界值有所提高。

　　為進一步探究在互聯電網中Braess悖論現象產生的原因，本節將從互聯電網同步能力以及互聯電網中供電、受電子網的局部同步能力角度進行分析，最后在大網絡上做進一步的驗證。首先考慮供電子網，相較單一IEEE14系統，在互聯電網供電子網中有更多新增傳輸線路會引起供電子網同步能力的惡化。

　　比如傳輸線路(1,9)、(4,6)、(5,12)，在單個IEEE14系統中分別新增這些傳輸線路并不會引發Braess悖論現象，當在供電子網中新增上述傳輸線路時，互聯電網發生了Braess悖論現象。通過對供電子網和受電子網穩態序參數的分析，我們發現新增上述傳輸線路時，供電和受電子網的同步能力都有所惡化。

　　雖然受電網絡臨界同步耦合強度變化更明顯，但由于互聯電網的臨界同步耦合強度等于供電子網的臨界同步耦合強度，所以是因為新增這些傳輸線路引起供電子網同步能力的惡化，才導致互聯電網發生Braess悖論現象。其次考慮受電子網，由于互聯電網中受電子網發生Braess悖論現象的概率很低，這說明有些會引起單個IEEE14系統同步能力惡化的傳輸線路，在互聯電網中不會引起網絡整體同步能力的惡化。比如我們新增傳輸線路(15,25)、(16,24)、(17,23)，這些會引起單一IEEE14系統同步能力惡化的傳輸線路，仿真發現并不會引起互聯電網同步能力的惡化。

　　對供電子網和受電子網穩態序參數的分析表明，在受電子網中分別新增這些傳輸線路確實引起了受電子網同步能力的惡化。但同時卻引起了供電子網同步能力的提高。從臨界同步耦合強度看，互聯電網的臨界同步耦合強度由供電子網決定，因此新增這些傳輸線路并不會引發互聯電網同步能力的惡化，相反，互聯電網的同步能力有所提升，電網不會發生Braess悖論現象。

　　本小節通過將兩個IEEE57標準測試網絡作為子網構建互聯電網對本文結論做進一步的驗證。將兩個IEEE57系統通過最大度節點相連，當兩子網之間有功率傳輸時，在供、受電子網內部隨機新增傳輸線路進行實驗，共實驗100次，保證每次新增傳輸線路不同，為了便于比較，供、受電子網隨機新增傳輸線路的節點編號一致。

　　本文采用二階類Kuramoto相振子建立電網的動力學模型，研究互聯電網中的Braess悖論現象。新增傳輸線路后，采用系統穩態頻偏是否等于來判別電網是否發生Braess悖論現象。研究表明，當互聯電網中的兩個子網間功率傳輸達到一個臨界值時，供電子網和受電子網的同步能力不一致，受電子網的同步能力遠遠好于供電子網的同步能力，供電子網發生Braess悖論現象的概率較高，受電子網發生Braess悖論現象的概率較低。

　　由于互聯電網的整體臨界同步耦合強度由供電網絡決定，受電網絡臨界同步耦合強度較小，因此以前在單個網絡中發生Braess悖論現象的傳輸線路即便增大了受電網絡的臨界同步耦合強度，但由于仍小于供電網絡臨界同步耦合強度，所以不會發生Braess悖論現象，但供電網絡則不同，由于相當于接了一個大負載，其達到局部同步困難，因此新增傳輸線路發生Braess悖論現象的概率高。綜上所述，本文的研究在當前電網互聯特性顯著，互聯優勢愈發明顯的背景下，對今后電網擴建，改造以及優化有一定的指導意義。

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　　作者：張少澤，鄒艷麗，譚秫毅，李浩乾，劉欣妍