摘要：本文著重介紹拓撲學的性質，尤其是闡述莫比烏斯環和克萊因瓶這兩種曲面在建筑設計中的應用。期望能夠用拓撲相關理論指導現代建筑形態發生，以促進建筑形態學的發展。

　　Abstract：This article focuses on the nature of the topology, in particular, is described Mobius Strip and Klein due to bottle the two surfaces in architectural design. Look forward to the topological theory to guide the modern architectural form, in order to promote the development of architectural morphology.

　　關鍵字：拓撲學 建筑形態 莫比烏斯環 克萊因瓶

　　中圖分類號：O189.3 文獻標識碼：A 文章編號：

　　Keywords： topology architectural form Mobius Ring Klein bottle

　　正文：

　　在現代生活節奏日益加快，并伴隨著信息科學的飛速發展，人們對事物的感知方式逐漸發生了變化，這種變化以豐富多彩的圖像為標志。另外，建筑形式的拓撲化引導建筑設計邁向一種新的、引人入勝的可塑性，引導類似巴洛克建筑和表現主義建筑的塑性美學。其次，隨著歐幾里得幾何學這一影響深遠的的數學理論被瓦解，非歐幾何學逐漸被人們接受，拓撲幾何學也逐漸成為建筑表皮生成的主要理論基礎，并伴隨表皮的獨立逐漸成為建筑師表達建筑形態的主要手段之一。

　　1. 拓撲學的概念

　　拓撲學是由龐加萊創立并在20世紀繁榮起來的一個數學分支，往往被描繪成“橡皮膜幾何學”，但它更適合被定義為“連續性的數學”。拓撲學是研究幾何對象在連續變換下保持不變性質的數學。所謂連續變換“也叫拓撲變換”就是使幾何學對象受到彎曲、壓縮、拉伸、扭轉或它們的任意組合，變換前后點與點相對位置保持不變。大小和形狀與拓撲學無關，因為這些性質在拉伸時就會發生改變。拓撲學家們只問一個形狀是否有洞，是否連通，是否打結。他們不僅想象在歐幾里得一、二、三維的曲面，而且想象在不可能形象化的多維空間中的曲面。拓撲學研究逐漸的、光滑的變化，它屬于無間斷的科學，關心的是定性而不是定量問題，重點則是連續變換。

　　如今，在拓撲變換下，拓撲學主要研究拓撲空間的不變量和不變性質。拓撲學對于形態藝術具有相互促進的作用，從而，諸多建筑師將其引入到建筑之中。

　　2.拓撲學的性質

　　拓撲學的性質有哪些呢?首先來介紹拓撲等價，這是一個比較容易理解的拓撲性質。

　　一個幾何圖形任意被“拉扯”，只要不發生粘接和割裂，可以做任意變形，這就稱為“拓撲變形”。兩個圖形通過“拓撲變形”可以變得相同，則稱這兩個圖形是“拓撲等價” 。如圖1所示，1、2、3同構，4和1、2、3不同構。

　　拓撲幾何就是研究幾何圖形在一對一連續變換中保持不變的性質。不考慮幾何圖形具體的面積、尺寸、體積等具體形狀和度量性質。

　　在拓撲變換中封閉圍線的“內”和“外”的區分不變，邊線上點的順序不變。圖2中圓、三角形、方形和任意封閉曲線同構，圖3中四個圖形不同構：封閉曲線，開口曲線，有一個三叉點的開口曲線，有一個四叉點和兩個封閉域的封閉曲線。

　　在拓撲變換中。端點、三叉點、四叉點、封閉域數量不變。球和立方體同構，與輪胎不同構。在拓撲學里，不討論兩個幾何圖形全等的概念，但我們討論拓撲等價的概念。比如，盡管三角形、方形和圓形的大小、形狀不同，但是，在拓撲變換下，它們都屬于等價圖形。

　　在一個球面上任選一些點，再用不相交的線把它們逐個連接起來，這樣，球面就被這些線分成若干個塊。在拓撲變換下，點、線、塊的數目仍舊和原來變換前的數目保持一致，這就是拓撲等價。一般地說，對于任意形狀的閉曲面，只要不把曲面割破或撕裂，它的這種變換就是拓撲變換，就存在拓撲等價。

　　應該指出，環面不具有這個性質。把環面剖切開，它沒被分成許多個塊，只是變成了一個彎曲的圓桶形，鑒于此種情況，我們就說球面不能夠拓撲的變成環面。所以球面和環面在拓撲學中是不同的曲面。

　　直線上的點和線的順序關系、結合關系，在拓撲變換下保持不變，這是拓撲性質。在拓撲學中，曲線和曲面的閉合性質也稱為拓撲性質。

　　在拓撲學中，立方體與球是等價的，可以經過連續變換而得到。為了證明兩個圖形拓撲等價，需要找到一個拓撲(連續)變換，使其中一個圖形變為另一個。而為了證明兩個圖形不等價，則需找出某種圖形所獨有的拓撲性質。拓撲性質是在連續變換下保持不變的性質，不變性包括可定向性、邊緣數、虧格和歐拉示性數。歐拉示性數是與曲面中“洞”有關的拓撲性質，環面、雙環面(兩個洞)、三環面(3個洞)的歐拉示性數分別是0、2、-4;拓撲性質與歐幾里得形狀與尺寸等表面空間性質不同，更本質地揭示出曲面與空間的特性。莫比烏斯環和克萊因瓶是拓撲曲面和空間的典型實例。

　　3.莫比烏斯環在建筑形態中的應用

　　通常我們講的曲面、平面有兩個面，就像一張白紙有兩個面一樣。但在1858年莫比烏斯(德國數學家1790～1868)發現了莫比烏斯曲面(莫比烏斯環圖 圖5莫比烏斯環

　　5)。我們把一個長方形紙條ABCD的一端AB固定，然后將另一端DC扭轉半周后，再把AB和CD這兩端粘合在一起，得到的曲面就是莫比烏斯環。 這種曲面因為只有一個面，因此就不能用不同的顏色來涂滿。“莫比烏斯環”變成了拓撲學中最有趣的單側面問題之一。莫比烏斯環的概念被廣泛地應用到了藝術、建筑、工業生產當中。我們可以運用莫比烏斯環原理建造道路和立交橋，以避免車輛行人的擁堵。

　　坦白說，采用莫比烏斯環曲面的建筑設計方案，能夠在同樣大小平面中通過不同角度的“空間扭曲”讓原有的空間在不同方向“延伸”，來獲得更多的可用空間。

　　全新國家圖書館項目負責人托馬斯·克里斯托弗森形容說：“國家圖書館的設計打破了傳統建筑的造型特征，它讓墻壁在不同的角度變化，時而是墻，時而是屋頂，時而成了地板，最后又變成了墻。”。

　　圖6克萊因瓶

　　鳳凰國際傳媒中心項目建筑高度55米，總建筑面積6.5萬平方米，位于北京朝陽區朝陽公園內。整棟建筑的設計邏輯是一個具有生態功能的外殼將具有獨立維護使用的功能空間包裹在里面，兩者之間形成了許多共享型公共空間，同時展現了樓中樓的概念。 在東西兩個共享空間里，布置了景觀性平臺、連續的臺階、通天的自動扶梯和空中環廊，使整個建筑內部空間充滿了活力和動感。更重要的是，這一建筑造型來源于“莫比烏斯環”，并與不規則的道路方向、轉角以及朝陽公園形成和諧的關系。

　　4.克萊因瓶在建筑形態中的應用

　　克萊因瓶是一種復雜的數學概念，是指一種沒有定向性和內外之分的立體環面。由菲利克斯·克萊因(德國數學家)提出的。克萊因瓶和莫比烏斯帶非常相似。克萊因瓶的結構并不復雜，一個瓶子的底部有一個洞，首先延長瓶子的頸部，并且扭曲地插入瓶子的內部，然后和瓶子底部的洞連接起來。這個物體沒有“邊緣”，它的表面不會結束。克萊因瓶(如圖6)是一個在四維空間中才能夠真正表現出來的復雜曲面。

　　溫莎斜屋是一座全球最具創意性的18座DIY建筑之一。這棟建筑的設計靈感就來源于克萊因瓶曲面，它看起來根本分不清楚哪里是外部，哪里是內部。當初，設計師的想法是能夠在房子中間位置建造一個小型院落，以保證整棟房屋具有良好的通風效果。最終，這棟“ 克萊因瓶”結構房屋實現了設計師的初衷。

　　在建筑學領域，拓撲學對當代建筑理論的影響主要體現在研究建筑形態的拓撲性質和形態間的拓撲變換，分析建筑形體、表面、空間的拓撲結構，最終通過拓撲變換生成建筑形態。拓撲學對當今建筑界的影響表現在建筑形態上，同時建筑體量、空間、表皮的形態也正發生著巨大變化，也許會引起建筑學范式轉換的變革。

　　參考文獻：

　　【1】任軍，《當代建筑的科學之維：新科學觀下的建筑形態研究》東南大學出版社 2009-07-01